Арифметический метод

Задачи решаются посредством выполнения арифметических действий над числами.

Задача. Путь, который проехал турист на поезде, на 150 км больше пути, который он проехал на пароходе, и на 750 км больше пути, пройденного пешком. Найти весь путь, если известно, что пешком он прошел в 3 раза меньше, чем на пароходе.

О чем предложенная задача? Этот вопрос направляет учащихся на осмысление условия, уяснения ситуации, описанной в задаче. При этом ученик   переформулирует задачу на том же языке, делает целью своей деятельности. Определяет зависимости между величинами и формулирует основную зависимость между данными и искомыми.

Переформулируем задачу в виде отрезочных диаграмм.

Видно, что 600 км составляют два участка, пройденные пешком, значит

1. 600:2 = 300 (км) – пройдено пешком

2. 300+750 = 1050 (км) – ехал на поезде

3. 300+600 = 900 (км) – ехал на пароходе

4. 1050+900+300 = 2250 (км) – весь путь туриста.

Таким образом, остаточные диаграмма позволили увидеть зависимости между величинами, что позволило «считать» более полно информацию, заложенную автором в задаче, а это, в свою очередь позволило решить задачу арифметическим методом.

Алгебраический метод.

При решении этим методом нужно составить и решить уравнение или систему уравнений (неравенств).

Задача. Пешеход рассчитал, что двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь он пройдет за 2,5 часа. Но он увеличил скорость на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 2 часа. Найти длину пути.

Решение. Так как каждый час пешеход проходил на 1 км больше, то за 2 часа он прошел 1*2=2 (км) больше, а это приходится на 0,5 часа, то есть 2:0,5=4 (км/ч) скорость по плану.

2,5*4=10 (км) – весь путь.

Ответ: 10 км.

Графический метод.

Решение таких задач можно искать с помощью графиков линейных функций.

Задача. Пассажирский поезд проходит расстояние между городами за 15 часов, а товарный это же расстояние проходит за 10 часов. Оба поезда вышли одновременно их этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

Решение.

Так как t – время и  S – пройденный поездом путь связаны прямопропорциональной зависимостью (скорость движения считается постоянной), одну из осей координат примем за t (часы), другую – S (км). Введем две системы координат. Оси АХ и ВХ^’ – оси времени, масштабы на них одинаковы. Отрезок АВ изображает весь пройденный путь. Построив графики пути пассажирского поезда (I) и товарного поезда (II), найдем абсциссу точки пересечения графиков, а это будет искомое время (t≈6).

Геометрический метод.

В нем используются геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Задача. Из двух пунктов А и В, находящиеся друг от друга на расстоянии 120 км, по прямолинейным дорогам, сходящимся в пункте С под углом 60⁰, одновременно выехали грузовик и автобус соответственно со скоростями 40 км/ч и 60 км/ч. автобус прибыл в пункт С на 1 час раньше грузовика. Найти время движения автобуса.

Решение.

Пусть t (ч) – время движения автобуса, тогда расстояние АС равно V_a*t км, а расстояние ВС равно V_г*(t+1) км. Тогда по теореме косинусов имеем: АВ²=АС²+ВС²-2АС*ВС*cosC

120²=(60t)²+(40(t+1))²-2*60t*40*(t+1)cos60⁰

14400=3600t²+1600t²+3200t+1600-2400t²-2400t

28t²+8t-128=0

7t+2t-32=0

тогда время движения автобуса – 2 часа.

Ответ: 2 часа.

Графико-геометрический метод.

Суть данного метода в том, что вначале схематически строятся графики линейных функций описываемых процессов, а аналитическое решение задачи основывается на геометрических соотношениях.

Задача. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. После встречи одному из них приходится быть в пути 2 часа, а другому 9/8 часа. Найти скорость автомобилей, если расстояние АВ равно 210 км.

Решение.

   

Таким образом, время до встречи – 3/2 часа и 3/2+2=3,5 часов шел первый автомобиль, а 3/2+9/8=2/8 часа шел второй автомобиль. Тогда 210:7/2=60 (км/ч) – скорость первого автомобиля, 210:21/8=80 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

Графовый метод.

При решении задач применяются различные граф-схемы.

Задача. Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 часа быстрее другого. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что первый проходит 240 км за то же время, что второй проходит 200 км.

Решение. Построение графа происходит, начиная с первого уровня на последующие, так, чтобы его ветви сходились к вершине (вершинам). На первом уровне выписываются все известные величины, которые можно выразить через величины  первого уровня и т.д.