1. Движение навстречу.

Если расстояние между двумя телами равно S, а их скорости V₁ и V₂, то время t, через которое они встретятся, находится по формуле t = S/(V1+V2).

1. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город 8 со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Решение: Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно 435-60 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через время t = 375/(60+65). Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа и проедет 60*4 = 240 (км).

Ответ: 240.

Тренировочная работа 1

T1.1. Из городов А и В, расстояние между которыми равно 480 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля: из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В - со скоростью 65 км/ч. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Ответ: 220.

Т1.2. Из двух городов, расстояние между которыми равно 390 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Найдите скорость первого автомобиля, если скорость второго равна 60 км/ч и автомобили встретились через 3 часа после выезда. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 70.

Т1.3. Расстояние между городами А и В равно 440 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города В выехал второй автомобиль. Найдите скорость второго автомобиля, если автомобили встретились через 2 часа после его выезда из города В. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 70.

Т1.4. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Ответ: 3.

Т1.5. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в два раза больше скорости второго, и он прибыл в В на 1 час быстрее, чем второй прибыл в А. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?

Ответ: 10.

2. Движение вдогонку.

Если расстояние между двумя телами равно S, они движутся по прямой в одну сторону со скоростями V₁ и V₂ соответственно (V₁>V₂) так, что первое тело следует за вторым, то время t, через которое первое тело догонит второе, находится по формуле t = S/(V1-V2).

2. Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение: Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т.е. 0,3 км, находим по формуле t = 0,3/1,5 = 0,2 часа. Следовательно, это время составляет 12 минут.

Ответ: 12.

Тренировочная работа 2

Т2.1. Города A, B и C соединены прямолинейным шоссе, причем город B расположен между городами A и C. Из города A в сторону города С выехал легковой автомобиль, и одновременно с ним из города B в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и B равно 125 км?

Ответ: 5.

Т2.2. Два пешехода отправляются из одного и того же места в одном направлении на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 200 метрам?

Ответ: 12.

Т2.3. Товарный поезд каждую минуту проезжает на 500 метров меньше, чем скорый, и на путь в 120 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 30.

Т2.4. Из посёлка А в посёлок В, расстояние между которыми равно 20 км, выехал грузовик, а через 8 минут следом за ним выехал автобус, скорость которого на 5 км/ч больше скорости грузовика. Найдите скорость автобуса, если в посёлок B он прибыл одновременно с грузовиком. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 30.

Т2.5. Из города A в город B, расстояние между которыми равно 100 км, одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста, и в В он приехал на 3 часа раньше, чем велосипедист. Найдите скорость велосипедиста. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 20.

3. Движение по окружности (замкнутой трассе).

Рассмотрим движение двух точек по окружности длины S в одном направлении при одновременном старте со скоростями V₁ и V₂ (V₁ > V₂) и ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью V₁ – V₂ , получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку: t = S/(V1-V2). Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями V₁ и V₂ соответственно (V₁ > V₂ соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью V₁ – V₂. И в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть скорость второго автомобиля х км/ч. Поскольку 40 минут составляют часа и это — то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим по условию задачи уравнение, откуда 160-2х = 42, х = 59.

Ответ: 59.

Тренировочная работа 3

Т3.1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?

Ответ: 45.

Т3.2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один крут. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 75.

Т3.3. Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?

Ответ: 50.

Т3.4. Часы со стрелками показывают 9 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в третий раз поравняется с часовой?

Ответ: 180.

Т3.5. Две точки равномерно вращаются по окружности. Первая совершает оборот на 5 секунд быстрее второй и делает за минуту на 2 оборота больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает вторая точка?

Ответ: 4.

4. Движение по воде.

В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения — вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения.

4. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Решение: Пусть искомая величина равна 2х. Составим по условию задачи уравнение x/28 + x/22 + 5 = 30,

откуда x/28 + x/22 = 25     (11x+14x)/28*11 = 25     25x/3-8 = 25     х=308.

Значит, искомое расстояние равно 616 км.

Ответ: 616.

Тренировочная работа 4

Т4.1. Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 7 часов. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна х км/ч. Какое уравнение соответствует данному условию?

1) 48/(x+2) + 48/(x-2) = 7;

2) 48/(x+2) + 48/(x-2) = 1/7;

3) (x+2)/48 +(x-2)/48 = 7;

4) (x+2)/48 + (x-2)/48 = 1/7.

Ответ:1.

Т4.2. Баржа прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость баржи в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:6.

Т4.3. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 14 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

Ответ:192.

Т4.4. Расстояние между пристанями А и B равно 48 км. Отчалив от пристани А в 9:00 утра, теплоход проплыл с постоянной скоростью до пристани В. После двухчасовой стоянки у пристани B теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 20:00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:12.

Т4.5. Баржа проплыла по течению реки 60 км и, повернув обратно, проплыла еще 20 км, затратив на весь путь 7 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 11.

5. Средняя скорость.

Напомним, что средняя скорость вычисляется по формуле V = S/t, где S — путь, пройденный телом, a t — время, за которое этот путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и всё время движения. Например, если путь состоял из двух участков протяженностью S₁ и S₂, скорости на которых были равны соответственно V₁ и V₂, то S=S₁+S₂, t=t₁+t₂, где t₁ = S1/V1, t₂ = S2/V2.

5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть — со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Обозначим длину всей трассы через 3S. Тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время t₁ = S/12, вторую треть — за время t₂ = S/16, последнюю треть — за время t₃ = S/24. Значит, время, потраченное им на весь путь, равно t₁+t₂+t₃, то есть S/12 + S/16 + S/24 = 9S/48.

Поэтому искомая средняя скорость находится по формуле V = 3S:(9S:48) = 3S*(48/9S) = 16 км/ч

Ответ: 16.

Тренировочная работа 5

Т5.1. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 84 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 56 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 70.

T5.2. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 56 км/ч, а вторую — со скоростью 84 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 67, 2.

T5.3. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 25 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 475 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 47, 5.

Т5.4. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 80 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 80.

Т5.5. Автомобиль проехал треть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшееся расстояние — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на

Ответ: 72.

6. Движение протяженных тел.

В задачах на движение протяженных тел требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае — расстояние, равное сумме длин поезда и платформы.

6. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение: Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью x (м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояние S = 400+80+120+600 = 1200 (м).

Поэтому х = 1200/12 = 100 (м/мин) = 6 (км/ч).

Ответ: 6.

Тренировочная работа 6

Т6.1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Ответ: 500.

Т6.2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 65 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Ответ: 500.

Т6.3. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 800 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Ответ: 700.

Т6.4. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 600 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 30 секундам. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 400.

Т6.5. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 1400 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минутам. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 600.