Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:
1. анализ задачи;
2. схематическая запись задачи;
3. поиск способа решения задачи;
4. осуществление решения задачи;
5. проверка решения задачи;
6. исследование задачи;
7. формулирование ответа задачи;
8. анализ решения задачи.
Приведенная схема дает лишь общее
представление о процессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе. Рассмотрим
этот процесс на конкретном примере.
Задача:
Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 часов, а
обратный путь она совершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние
между пристанями плот, пущенный по течению реки?
1.
Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах:
лодка и плот. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой
плывет лодка, и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка
совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6 ч), чем
против течения (8 ч). Но эти скорости (собственная скорость лодки и скорость
течения реки) в задаче не даны (они неизвестны), также как неизвестно
расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные скорости
и расстояние, а время, за которое плот проплывет неизвестное расстояние между
пристанями.
2.
Схематическая запись задачи.
3.
Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за
которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того чтобы найти
это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они
неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой s (км), а скорость течения
реки примем равной а км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи
(время движения лодки по и против течения реки), нужно еще знать собственную
скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна v км/ч. Отсюда
естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений
относительно введенных неизвестных.
4.
Осуществление решения задачи. Итак, пусть расстояние
АВ равно s км, скорость течения реки а км/ч, собственная скорость лодки v км/ч,
а искомое время движения плота на пути в s км равно x часов.
Тогда скорость лодки по течению реки будет равна (v+a) км/ч. За 6 часов лодка, идя с этой скоростью, прошла путь АВ в s км. Следовательно, 6(v + a) = s (1).
Против течения эта лодка идет со
скоростью (v-а) км/ч и путь АВ в s км она проходит за 8 часов, поэтому 8(v-а) =
s (2).
Наконец, плот, плывя со скоростью а
км/ч, покрыл расстояние s км за х часов, следовательно, ах=s (3).
Уравнения (1), (2) и (3) образуют
систему уравнений относительно неизвестных s, a, v и х. Так как требуется найти
лишь х, то остальные неизвестные постараемся исключить.
Для этого из уравнений (1) и (2) найдем:
v+a=s/6, v-a=s/8.
Вычитая из первого уравнения второе,
получим: 2a= s/6-s/8, Отсюда a=s/48.
Подставим найденное выражение для а в
уравнение (3): s/48*x=s.
Так как очевидно, s не равно нулю, то
можно обе части полученного уравнения разделить на s. Тогда найдем: x=48.
5.
Проверка решения. Итак, мы нашли, что плот проплывает
расстояние между пристанями за 48 часов. Следовательно, его скорость, равна
скорости течения реки, равна s/48 км/ч. Скорость же лодки по течению равна s/6
км/ч, а против течения s/8 км/ч. Для того, чтобы убедиться в правильности решения,
достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные
двумя способами:
1) от скорости лодки по течению отнять
скорость течения реки, то есть s/6-s/48;
2) к скорости лодки против течения реки
прибавить скорость течения реки, т.е. s/8+s/48.
Произведя вычисления, получаем верное
равенство: 7s/48=7s/48.
Значит, задача решена правильно.
6.
Исследование задачи. В данном случае этот этап решения не
нужен.
7.
Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48
часов.
8.
Анализ решения. Мы свели решение этой задачи к решению
системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти-то надо было нам
лишь одно из этих неизвестных. Поэтому, естественно, возникает мысль, что
проведенное решение не самое удачное, хотя и достаточно простое. Можно
предложить другое решение.
Зная, что лодка проплыла расстояние АВ
по течению реки за 6 часов, а против — за 8 часов, найдем, что в 1 час лодка,
идя по течению, проходит 1/6 часть этого расстояния, а против течения 1/8.
Тогда разность между ними (1/6-1/8=1/24) есть удвоенная часть расстояния АВ,
проплываемая плотом за 1час. Значит, плот за 1 час проплывет 1/48 часть
расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 часов.
Как видим, при таком решении нам не
понадобилось составлять систему уравнений. Однако, несомненно, это решение
сложнее хотя бы потому, что не всякий догадается найти разность скоростей лодки
по течению и против течения реки. Часто также эту разность принимают не за
удвоенную часть расстояния АВ, проплываемую плотом за 1час, а за скорость
плота, что, конечно, приводит к ошибочному ответу.
Следует обратить внимание в приведенном решении еще на одно обстоятельство. В этом решении была получена система трех уравнений с четырьмя неизвестными. И хотя число неизвестных больше числа уравнений, из этой системы удалось найти числовое значение одного из неизвестных. Значит, не всегда такая система полностью неопределенная, в том смысле, что из нее можно найти лишь выражения одних неизвестных через другие. Как видим, в некоторых случаях из такой системы удается найти значения отдельных неизвестных (конечно, не всех).
Процесс решения задачи
