Уровень А.

А1.

а) Из двух городов, расстояние между которыми равно 363 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 57 км/ч и 64 км/ч?

Ответ: 3 часа.

б) Из двух городов, расстояние между которыми равно 108 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 15 км/ч и 12 км/ч?

Ответ: 4 часа.

А2.

а) Города А, В и С соединены прямолинейным шоссе, причем город В расположен между городами А и С. Из города А в сторону города С выехал легковой автомобиль, и одновременно с ним из города В в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового автомобиля на 23 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и В равно 92 км?

Ответ: 4 часа.

б) Города А, В и С соединены прямолинейным шоссе, причем город В расположен между городами А и С. Из города А в сторону города С выехал легковой автомобиль, и одновременно с ним из города В в сторону города С выехал грузовик. Через сколько часов после выезда легковой автомобиль догонит грузовик, если скорость легкового автомобиля на 17 км/ч больше скорости грузовика, а расстояние между городами А и В равно 102 км?

Ответ: 6 часов.

А3.

а) Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 52 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 62 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Ответ: 57 км/ч.

б) Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 48 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 68 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Ответ: 58 км/ч.

А4.

а) Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую – со скоростью 63 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Ответ: 50,4 км/ч.

б) Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 46 км/ч, а вторую – со скоростью 69 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Ответ: 55,2 км/ч.

А5.

а) Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на самолете со скоростью 561 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.

Ответ: 33 км/ч.

б) Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на самолете со скоростью 630 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.

Ответ: 35 км/ч.

А6.

а) Расстояние от А до В первый автомобиль проезжает в 1 2/7раза быстрее второго автомобиля. Найдите скорости автомобилей, если известно, что скорость первого на 18 км/ч больше скорости второго.

Ответ: 81 км/ч, 63 км/ч.

б) Расстояние от А до В первый автомобиль проезжает в 1 2/5 раза медленнее второго автомобиля. Найдите скорости автомобилей, если известно, что скорость первого на 22 км/ч меньше скорости второго.

Ответ: 55 км/ч, 77 км/ч.

 

Уровень В.

В1.

а) Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой – со скоростью 3,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча?

Ответ: 3 км.

б) Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до лесной поляны, находящейся в 4 км от места отправления. Один идет со скоростью 3,3 км/ч, а другой – со скоростью 5,5 км/ч. Дойдя до поляны, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча?

Ответ: 3 км.

В2.

а) Моторная лодка прошла против течения 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 минут меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

б) Моторная лодка прошла против течения 21 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 минут меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.

В3.

а) Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 16 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 10 часов после отплытия из него.

Ответ: 120 км.

б)  Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 12 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Найдите расстояние, пройденное теплоходом за весь рейс, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 16 часов после отплытия из него.

Ответ: 140 км.

В4.

а) Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч?

Ответ: 4 км/ч.

б) Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 16 км. Пешеход прошел путь из А в В за 6 часов. Время его движения на спуске составило 2 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 2 км/ч?

Ответ: 4 км/ч.

В5.

а) Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 80 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого автомобилиста равна 92 км/ч, скорость второго автомобилиста равна 68 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг?

Ответ: 3 часа 20 минут.

б) Из пункта А круговой трассы, длина которой равна 57 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого автомобилиста равна 81 км/ч, скорость второго автомобилиста равна 63 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг?

Ответ: 3 часа 10 минут.

В6.

а) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда.

Ответ: 9/10 км.

б) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 24 секунды. Найдите длину поезда.

Ответ: 0,4 км.

 

Уровень С.

С1.

а) Из пункта А в пункт В, отстоящий от пункта А на 27 км, отправился пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 36 минут после этого навстречу ему из В вышел другой пешеход со скоростью 3 км/ч. Найдите расстояние от пункта В до места их встречи.

Ответ: 9 км.

б) Из пункта А в пункт В, отстоящий от пункта А на 11 км, отправился пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 15 минут после этого навстречу ему из В вышел другой пешеход со скоростью 6 км/ч. Найдите расстояние от пункта В до места их встречи.

Ответ: 6 км.

С2.

а) Из пункта А в пункт В по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю 1/13 часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включенным мотором, ее скорость была на 5 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно.

Ответ: 10 км/ч.

б) Из пункта А в пункт В по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Последнюю 1/9 часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и ее скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включенным мотором, ее скорость была на 7 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно.

Ответ: 7 км/ч.

С3.

а) Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 часа пути вынужден был сделать остановку на 10 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста из А в В.

Ответ: 22 км/ч.

б) Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 32 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 1 час пути вынужден был сделать остановку на 12 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 4 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста из А в В.

Ответ: 16 км/ч.

С4.

а) Расстояние между пристанями А и В равно 70 км. Отчалив от пристани А в 7:00 утра, теплоход проплыл с постоянной скоростью до пристани В. После четырехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 23:00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

б) Расстояние между пристанями А и В равно 45 км. Отчалив от пристани А в 8:00 утра, теплоход проплыл с постоянной скоростью до пристани В. После трехчасовой стоянки у пристани В теплоход отправился в обратный рейс и прибыл в А в тот же день в 19:00. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

С5.

а) Иван и Алексей договорились встретится в N-ске. Они едут к N-ску разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнает, что тот находится в 350 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 70 км/ч. Иван в момент звонка находится в 399 км от N-ска и еще должен по дороге сделать 15-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в N-ск одновременно с Алексеем?

Ответ: 84 км/ч.

б) Сергей и Володя договорились встретится в N-ске. Они едут к N-ску разными дорогами. Сергей звонит Володе и узнает, что тот находится в 150 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 50 км/ч. Сергей в момент звонка находится в 192 км от N-ска и еще должен по дороге сделать 20-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Сергей, чтобы прибыть в N-ск одновременно с Володей?

Ответ: 72 км/ч.

С6.

а) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 0,4 минуты. Найдите длину поезда.

Ответ: 200 метров.

б) Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 300 метрам, за 0,5 минуты. Найдите длину поезда.

Ответ: 200 метров.

С7.

а) Ходики показывают 9 часов. Какое время будут показывать ходики, когда минутная стрелка догонит часовую стрелку в третий раз?

Ответ: 12 часов.

б) Ходики показывают 4 часа. Какое время будут показывать ходики, когда минутная стрелка догонит часовую стрелку в восьмой раз?

Ответ: 12 часов.

С8.

а) Расстояние между пристанями А и В равно 18 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 30 минут за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 9 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 50 м/мин.

Ответ: 25 км/ч.

б) Расстояние между пристанями А и В равно 14 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 44 минуты за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 7 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 50 м/мин.

Ответ: 18 км/ч.

 

Уровень D.

D1.

а) Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в одном направлении. Спустя 1 час, когда одному из них оставалось бежать 1 км до промежуточного финиша, ему сообщили, что второй бегун миновал промежуточный финиш 5 минут назад. Найдите скорость каждого бегуна, если известно, что скорость первого на 2 км/ч меньше скорости второго.

Ответ: 10 км/ч, 12 км/ч.

б) Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в одном направлении. Спустя 1 час, когда одному из них оставалось бежать 1,5 км до промежуточного финиша, ему сообщили, что второй бегун миновал промежуточный финиш 5 минут назад. Найдите скорость каждого бегуна, если известно, что скорость первого на 3 км/ч меньше скорости второго.

Ответ: 15 км/ч, 18 км/ч.

D2.

а) Если велосипедист увеличит скорость на 5 км/ч, то получит выигрыш во времени 12 минут при прохождении некоторого пути. Если же он уменьшит скорость на 8 км/ч, то потеряет 40 минут на том же пути. Найдите скорость велосипедиста и длину пути.

Ответ: 20 км/ч, 20 км.

б) Если велосипедист увеличит скорость на 9 км/ч, то получит выигрыш во времени 27 минут при прохождении некоторого пути. Если же он уменьшит скорость на 5 км/ч, то потеряет 29 минут на том же пути. Найдите скорость велосипедиста и длину пути.

Ответ: 20 км/ч, 29 км.

D3.

а) Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал первый автомобиль. Через некоторое время по тому же маршруту с постоянной скоростью отправился второй автомобиль. После остановки на 20 минут в пункте В второй автомобиль поехал с той же скоростью назад и через 48 км встретил первый автомобиль. В момент прибытия в В первого автомобиля второй автомобиль был в 120 км от В. Найдите расстояние от А до места первой встречи автомобилей, если расстояние между пунктами А и В равно 480 км.

Ответ: 80/3 км.

б) Из пункта А в пункт В с постоянной скоростью выехал первый автомобиль. Через некоторое время по тому же маршруту со скоростью 100 км/ч отправился второй автомобиль. Обогнав первый автомобиль через 150 км, второй автомобиль остановился на 1 час в В, затем поехал с той же скоростью назад и был на расстоянии 200 км от В в момент прибытия в В первого автомобиля. Найдите расстояние от В до места второй встречи автомобилей, если расстояние между пунктами А и В равно 600 км.

Ответ: 200/3км.

D4.

а) Велосипедист движется по пути АВ, состоящем из ровных участков, спусков и подъемов. На ровной дороге скорость велосипедиста равна 10 км/ч, на подъемах – 8 км/ч и на спусках – 16 км/ч. На дорогу из А в В велосипедист тратит 6 часов, а на обратный путь из В в А – 5 часов 30 минут. Известно, что ровная часть пути составляет 20 км. Найдите общую длину подъемов и спусков на пути из А в В.

Ответ: 40 км.

б) Велосипедист движется по пути АВ, состоящем из ровных участков, спусков и подъемов. На ровной дороге скорость велосипедиста равна 15 км/ч, на подъемах – 6 км/ч и на спусках – 18 км/ч. На дорогу из А в В велосипедист тратит 6 часов, а на обратный путь из В в А – 11 часов 20 минут. Известно, что ровная часть пути составляет 30 км. Найдите общую длину подъемов и спусков на пути из А в В.

Ответ: 60 км.

D5.

а) Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 20 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 60 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?

Ответ: 30 ступенек.

б) Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?

Ответ: 42 ступеньки.

D6.

а) Два бегуна одновременно стартуют из двух диаметрально противоположных точек А и В круговой дорожки стадиона. Они бегут в противоположных направлениях и встречаются в первый раз в точке М, находящейся в 50 метрах от В, во второй раз – в точке С, находящейся в 42 метрах от А. Найдите длину дорожки стадиона.

Ответ: 128 метров или 216 метров, или 384 метра.

б) Два бегуна одновременно стартуют из двух диаметрально противоположных точек А и В круговой дорожки стадиона. Они бегут в противоположных направлениях и встречаются в первый раз в точке М, находящейся в 70 метрах от В, во второй раз – в точке С, находящейся в 48 метрах от А. Найдите длину дорожки стадиона.

Ответ: 516 метров или 324 метра, или 172 метра.